Omówiliśmy kilka rodzajów RRZ rzędu pierwszego, których rozwiązania można uzyskać za pomocą procesu całkowania. Niestety, nawet jeśli ograniczymy się do RRZ rzędu pierwszego, to większości z nich nie jesteśmy w stanie rozwiązać poprzez ich całkowanie, co więcej, rozwiązania takich równań nie są funkcjami elementarnymi. Dlatego powinniśmy w dalszym ciągu omówić bardziej uniwersalne metody.

Rozpatrzmy parę \( x, y \), gdzie \( x \) jest zmienną niezależną, natomiast \( y \) jest pewną różniczkowalną funkcją zmiennej \( x. \) Zadamy sobie pytanie, co oznacza równość

Odpowiedź, którą już znamy, brzmi następująco: prawa strona równania zadaje w każdym punkcie \( (x_0,\,y_0) \) płaszczyzny fazowej wielkość pochodnej rozwiąznia \( y=\phi(x;\,C) \) przechodzącego przez ten punkt. Można to przeformułować jeszcze w taki sposób: prosta

jest styczna do rozwiązania \( y=\phi(x;\,C) \) równania ( 1 ) spełniającego warunek początkowy \( y(x_0)=y_0. \) Rozwinięcie tego rozwiązania w szereg Taylora

pozwala wnioskować że "dokładne" rozwiązanie w małym otoczeniu punktu \( x_0 \) różni się od linii prostej ( 2 ), o wyraz który jest rzędu \( |x-x_0|^2 \). A więc, dokładne rozwiązanie można przybliżać odcinkami prostej postaci

gdzie \( (x_k,\,y_k), \quad k=0,1,.... \) - zbiór punktów leżących w pobliżu poszukiwanej krzywej. W poszukiwaniu takiego przybliżenia korzystamy z pojęcia pola kierunków, które można określić jako pole taz zwanych infinitezymalnych odcinków zadanych w każdym punkcie \( (x,\,y) \) za pomocą wzoru

Obraz graficzny takiego pola kierunków można uzyskać w każdym z dostępnych pakietów matematyki komputerowej (MathCad, MathLab, Maple, Mathematica ). Tutaj i dalej będziemy przytaczać "orfografię" pakietu Mathematica. Zobrazujemy, dla przykładu, pole kierunków funkcji

Komórka 1.1.

Wynikiem jest wykres pola kierunków przedstawiony na Rys. 1

Na Rys. 2 przedstawione zostało pole kierunków z kilkoma rozwiązaniami dokładnymi równania

które dane są wzorem

Widać na nim wyraźnie, że pole kierunków jest styczne do rozwiązania w każdym punkcie.

Znajomość pola kierunków w celu konstrukcji przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego wykorzystał po raz pierwszy Leonard Euler. Jego algorytm dotyczy poszukiwania rozwiązania przybliżonego zadadnienia Cauchyego

Traktując stałe \( x_0, \,\,y_0 \) oraz funkcję \( f(x,\,y) \) jako znane wielkości, Euler zaproponował opis łamanej przybliżającej rozwiązanie na odcinku \( [a=x_0,\,b] \) w postaci następującego algorytmu:

gdzie \( h=\frac{b-a}{N} \).

Do tego, by przybliżenie dostatecznie dobrze opisywało poszukiwane rozwiązanie, należy stosować dostatecznie mały krok \( h \) (czyli duże \( N \)). Do zastosowania powyższego algorytmu, w zasadzie, wystarczy umieć posługiwać się kalkulatorem, jednak odpowiednie obliczenia są bardzo żmudne. Podamy, zgodnie z ¹,

dwie wersje algorytmu Eulera, zaimplentowane w pakiecie Mathematica dla rozwiązywania zagadnienia początkowego
 

na odcinku \( (0,\,4) \) z krokiem \( h=0.2 \).

Prosty kod wygląda następująco:
Komórka 1.2.

Jeżeli teraz dodać moduł
Komórka 1.3.

to otrzymamy poszukiwane przybliżone rozwiązanie w postaci tabelki.
Powyższy algorytm przy dużej liczbie iteracji \( N \) będzie pracować wolno, ponieważ przy każdej kolejnej liczbie \( n \) obliczenia rozpoczynają się od punktu \( y[0] \). Algorytm można jednak zmodyfikować w taki sposób że wielkości \( v[0],\,v[1],\,...v[n] \) będą zapamiętywane, co znacznie usprawni obliczenia. Kolejną rzeczą jest zastąpienie tabelki \( sol \) przez funkcję interpolacyjną \( vEul[t_{-}] = Interpolation[sol][t] \). Wszystko to razem wzięte tworzy następujący szybko działający algorytm:
Komórka 1.4.

W wyniku implementacji tego algorytmu uzyskujemy rozwiązanie przybliżone na tle rozwiązania dokładnego, co ilustruje Rys. 3.